Variation des suites arithmétiques

Propriété

Soit  `u_0`  et  `r`  deux réels et `(u_n)_(n\in\mathbb(N))` la suite arithmétique de premier terme  `u_0`  et de raison  `r` . 

• `` Si  \(r>0\) , alors la suite  \((u_n)\)  est strictement croissante. 
  
•   Si  \(r<0\) , alors la suite  \((u_n)\)  est strictement décroissante.
  
•   Si  \(r=0\) , alors la suite  \((u_n)\)  est constante. 
  

Démonstration

Soit  `u_0`  et  `r`  deux réels.
`(u_n)_(n\in\mathbb(N))`  est la suite arithmétique de premier terme  `u_0`  et de raison  `r` .
On étudie le signe de la différence  `u_{n+1}-u_n` .
Or, pour tout  `n`  entier naturel, `u_{n+1}-u_n=(u_n+r)-u_n=r` .
Donc, 

• `` Si  \(r>0\) , `u_{n+1}-u_n>0`  et alors la suite  \((u_n)\)  est croissante. 
  
•   Si  \(r<0\) ,  \(u_{n+1}-u_n<0\)  et alors la suite  \((u_n)\)  est décroissante.
•   Si  \(r=0\) , \(u_{n+1}-u_n=0\) et alors la suite  \((u_n)\)  est constante.